Военную службу начал проходить с декабря 1991 года в должности помощника командира корабля 930-го отдельного военно-транспортного авиационного полка (с 1992 года – в составе 23-й военно-транспортной авиационной дивизии) Военно-транспортной авиации (ВТА) (пункт дислокации – аэродром Завитинск, Амурская область).
С 1994 года, после присвоения квалификации военного лётчика 2-го класса, – командир корабля, а с 1996 по 1998 год – командир авиационного отряда того же полка. Выполнял полёты на военно-транспортных самолётах среднего класса Ан-12.
С 1998 г. служит на аэродроме Мигалово, на котором базировалась его воинская часть, наименование и подчинённость которой в дальнейшем периодически менялись.
С сентября 1998 г. – командир корабля 8-го гвардейского военно-транспортного авиационного Ленинградского полка 12-й военно-транспортной авиационной Мгинской Краснознамённой дивизии. В этот период принимал участие в боевых действиях в ходе второй чеченской кампании.
С 2009 года – командир авиационного отряда (на Ан-12) 3-й авиационной эскадрильи в составе вновь сформированной на этом же аэродроме 6955-й гвардейской авиационной Минской базы 1-го разряда (2009–2013), затем 196-го военно-транспортного авиационного полка 12-й гвардейской военно-транспортной авиационной дивизии Командования ВТА (2013–2015). В 2014 году был задействован в мероприятиях, связанных с операцией по возвращению Крыма в состав Российской Федерации.
В 2015 году переведён на должность командира корабля авиационного отряда (на Ан-12, Ан-26, Ту-134) 196-го военно-транспортного авиационного полка. С 2021 года стал выполнять полёты на тяжёлых самолётах Ил-76.
Прослужив в ВТА более 30 лет, принимал участие в транспортировке личного состава и военной техники к местам боевых действий и военных учений, в тушении пожаров по всей территории России, в обеспечении метеоусловий для проведения парадов Победы на Красной площади в Москве.
Выполнял специальные задания правительства в Сирии, ЦАР и др.
За более чем тридцать лет лётной деятельности совершил налёт более 4500 часов.
С 24 февраля 2022 г. принимал участие в воздушно-транспортном обеспечении специальной военной операции (СВО).
12 марта 2024 г. военно-транспортный самолёт Ил-76 с экипажем из 9 человек (майор С. П. Свешников – командир) и 7 пассажирами планировал совершить полёт с военного аэродрома Северный (Иваново) в Плесецк (Архангельская область). Уже на второй минуте после взлёта один из четырёх его двигателей (СУ-4) разрушился и загорелся. Сработала автоматическая система пожаротушения двигателя, но это не предотвратило его отрыва с пробитием топливных баков и возгоранием правой плоскости.
Лётчики, управлявшие самолётом, сохраняя хладнокровие, выполнили разворот и предприняли попытку вернуться на аэродром Северный. Однако причинённые повреждения и небольшая высота (до 300 метров) не позволили выполнить манёвр до конца – им не хватило для этого порядка 20 секунд. Возникла угроза падения самолёта на жилые кварталы села Богородское Ивановского района. Как выяснила комиссия, расследующая инцидент, командир корабля майор С. П. Свешников и второй пилот лейтенант С. М. Давлятов использовали последние возможности для того, чтобы увести падающую машину с 60 тоннами топлива на борту в сторону не только от жилых домов, но и от взлётно-посадочной полосы. Спустя 6 минут 40 секунд после взлёта "Ил" упал и окончательно разрушился в нежилой местности близ деревни Подталицы. Все находившиеся на борту погибли. Жертв среди населения, а также разрушений гражданской инфраструктуры не произошло.
22 апреля 2024 г. Указом Президента России В.Путина присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно) "за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга"
Жил в Твери.
Специалист 1-го класса (2015).
Воинские звания:
лейтенант (19.10.1991);
старший лейтенант (30.10.1993);
капитан (14.12.1995);
майор (06.11.1998).
Государственные награды:
медаль "Золотая Звезда" Героя Российской Федерации
медаль Нестерова (2020)
другие медали
Память:
Имя присвоено Павинской средней школе в Костромской области (07.2024)